在古代铜镜的背面纹饰中，有各种各样的艺术纹饰，亦有各种各样的几何纹饰。所谓艺术纹饰，是指雕刻艺术形式的纹饰，如战国时代的铜镜背纹上有涡纹、雷纹、饕餮纹、蟠螭纹、蟠虺纹等纹饰；又如汉代的铜镜背纹中有草叶纹、四神纹、禽兽纹、画像纹及神兽纹等。这些纹饰，大都是用手工塑造出来的艺术形象。所谓几何纹，是指以绘图工具制作出来的纹饰。如镜缘的内向连弧、镜背中的方框、乳钉及一些具有同心圆的凸棱及线条等纹饰，这些纹饰非手工能够直接塑就，而是采用了某种工具制作出来的、具有机械性及较强的规律性的纹饰。本文不讨论艺术纹饰是怎样被制作到镜背的，只讨论其中的几何纹饰的绘制及造形的方法。
仔细观察不难发现，在镜背的几何纹饰中，往往找得到一些在制模过程中为分区留下的线。图1为一枚北方出土量较大的西汉草叶纹镜的背纹。可以看到，镜缘为16出内向连弧纹。在连弧纹内有一圈凸起的线，以钮为中心，又分出十字线。方框的四角，即是根据十字线而作出的。在这面铜镜背纹中，十字线又成为分区的标致。象这种在一枚铜镜的背纹中，可以找到制模时留下的明显是用圆规画出的圆，及以中心画出的十字线的现象，在汉代的一些镜种上常常能见到。之所以在镜背纹饰中出现这些凸起的几何线条，说明这些镜种在制模过程中，曾采用了圆规进行过机械制图过程。
在现代工业的机械制图技术中，若欲在一张绘图纸上作出一个圆及以圆为中心求出十字线，须先用直尺作出一条直线，用圆规以直线的中心作出一个圆；这样就会形成以直线为中心的圆产生出两个交点。将圆规的半径稍为放大，将圆规的一端固定在直线与圆的一个交点上，圆规的另一端在圆外的两边各画一弧，然后将圆规一端固定在圆与直线的另一交点上，再在圆外画弧；当将圆两边的弧线画出后，就会在这个圆中心直线的垂直方向的两边圆外产生出两个新的交点。将这两个新交点作一条直线连起来，就会产生与圆的中心直线呈垂直的十字线。
在西汉的内向连弧纹镜缘上，大多为16出内向连弧，也有一些为12出及少量的8出内向连弧。一个圆为360度，如果作16出内向连弧，平均每两个弧之间的夹角为22.5度。如果作12出内向连弧，则平均每两弧之间的夹角为30度；如果作8出内向连弧，则每两弧之间的夹角为45度。假如说，西汉的先民们已经有了某种分度仪，用以在镜模上进行分度，从而制作出较规整的几何纹饰，因未见文献记载，古铜镜上又未留下机械分度的痕迹，因此不能认为西汉时期已具备现代机械制图水平。但使用一只较简单的圆规在镜模上进行分度，却的确是一件轻而易举的事。前文提到，古人用圆规可以较容易地在一个圆上作出十字线。那么，在两个十字线与圆的交点上再分出4条十字线出来，比在一个没有十字线的圆上分出十字线更为简单。用此方法可轻而易举地作成8出内向连弧纹。如果还用此法再多分出一倍十字线，也就可较容易地作成了16及32出内向连弧。
从具有16出内向连孤纹铜镜留下的一些痕迹看，西汉的工匠在车泥镜坯时，应该会车得比铜镜的实际直径尺寸稍大，在圆形泥镜坯上先用直尺画出一条中心线，然后用圆规以钮为中心画出铜镜的实际直径尺寸的外圆，将圆规的半径尺寸稍为放大，将圆规的一端定在直线与圆的一个交点上在圆外的两边各画一弧，然后将圆规的一端定在圆与直线的另一交点上，再在圆外的两边各画一弧，这样就会在圆外与中心直线垂直的两边产生出两个新的交点。用直尺将两个新的交点连接起来，泥镜坯的十字线就产生出来了。
将圆规的半径尺寸缩小并采用相同的方法，就可在泥镜坯上产生出8、16及32条等分线。再将圆规的半径尺寸放大致圆线以外的合适尺寸，将圆规的一端定在圆心，另一端在圆外的每一条直线上画出交点，圆外的每一个交点，就是内向连弧的中心点。将圆规的半径尺寸缩小到合适的尺寸，在每一个圆外与直线的交点上画弧，就会产生出一圈内向连弧纹。如图2所示，当将内向连弧作完以后，将圆以外的泥料切除，内向连弧纹的制图工作就完成了。
图3为一枚西汉时期的星云镜。可以看到，镜缘为16出内向连弧，钮座外的凸棱
亦为16出内向连弧，并且镜缘上每一个连弧的中心与凸棱上每一个连弧的中心都是以钮中心成为一条线，从而形成五点一线。镜背中四个乳钉的尖也在一个同心圆上，乳钉座的十字放射纹正好形成一个方框。在星云镜背纹中关于这些几何纹饰的制作，如果说西汉的工匠是在泥胎上用手雕出来的，而且雕得如此规整，可能连现代的雕塑家也不能认同。其答案只有一个，应如前述草叶纹镜一样，是采用圆规制作出来的。笔者按照这枚星云镜背纹中的几何纹饰，采用机械制图原理，较容易地绘制出了这枚镜的理论图。
在一个圆上先分出32条线，每隔一条线用圆规向圆内画一弧线，画到交点为止。这样画下来自然成为16出内向连弧，凸棱亦同。在四条45度线上设计乳钉的位置时，只需将圆规的尺寸调好后在每条45度线相等的距离上画一个很短的交点，即是4个乳钉的位置。
12出内向连弧的作法，则是先用圆规在圆周线上等分出来的。用圆规在圆周线上等分时，因圆周的半径约等于圆周的六分之一，稍微调节圆规，就很容易分出6个交点。当分出6个交点后，任意一个交点对着钮都会与圆对面的交点形成三点一线。再用6个交点分出12个交点来。这就是在没有分度仪器条件下，最为简单易行的12出连弧纹的分度方法。
以上所举铜镜背纹的制图方法，基本属于最原始及最简单的制图方法了。这些方法只是用于一些圆周性的简单几何纹饰。从南北方地下出土的铜镜来看，西汉的先民们早已熟练地掌握了如何正确地采用圆规与直尺，在镜模上进行机械制图。
从王莽时期(公元8年)以后，开始在中国的北方大量流行一种新式铜镜。在这种铜镜的背面纹饰中，除有象徵四个方位的“四神”以外，尚有乳钉及TLV三种符号。关于这三种符号，以前有人称之为“规矩”，
现在有人称之为“博局”。
因此镜背纹中的符号“V”纹很象一只圆规，而此镜背纹中的符号“L”纹，又很象一只矩，即角尺，因此，自古以来人们称此镜为“四神规矩镜”。自在湖北云梦睡虎地一座秦墓中出土了秦代的博具后，发现这套博具上的符号与“四神博局镜”上的符号完全相同。从此称此镜为“四神博局镜”，本文亦将此镜称为“四神博局镜”。提出讨论的几何纹，是指“四神博局镜”背纹中的线雕以外所有纹饰的绘制方法，同时也包括这些博局纹在内。
在考古界中，研究古代铜镜的学者较多，他们曾研究了古代铜镜的形制变化、纹饰发展，亦研究了古铜镜的范铸技术及合金技术。但对于古代这种铜镜背纹的纹饰是采用了什么方法布局，为什么方法定位，似乎还没有顾及。
笔者长期从事古代青铜镜的范铸技术研究，长年采用古代范铸法铸镜，因镜模大多是用出土的铜镜作为母模来翻制镜模，从未亲手刻制或雕塑过镜模。所以，许多年来并不存在设计镜背纹饰之事。因此，对古代铜镜背纹的制作问题，只停留在理论上的研究与探讨，并未动手去体验。
我们想将一枚直径为14cm的东汉四神博局镜当样品，将其先放大为直径60cm的铜镜。因此，需要先在纸上安照原镜的背纹放大成平面图纸。在现代机械加工行业中，不论制造什么机械零件，首先须绘制图纸，其绘制方法是安照机械制图的方法绘制的。笔者在第一次绘制这张图纸时，考虑到古代铜镜背面的纹饰不存在现代机械零件中的公差配合，因此，在纸上根据感觉随意作起图来。但是，作了一张又一张，始终画不出一张理想的图纸。在无可奈何的情况下，只好仔细观察古代四神博局镜背的纹饰有什么规律。经过仔细观察后发现，在四神博局镜背的几何纹饰中，每一处都在某一个交点上，布局十分严谨，其机械制图的规律也十分明确。图4为一枚四神博局镜的柘片图，此镜为王莽时期的始建国天凤二年四神博局镜【1】。可以看到，虽然经过了柘片、照像、制版及印
刷，又经过笔者扫描、打印后画线、再扫描成这张图像，但至今还可以清楚地看到，方框外对称位置的任意两个大乳钉与方框内对称的两个小乳钉及镜钮五个点，总是都在一条线上，而且都是等距离。这一现象说明，这些大、小乳钉的位置，都是在直线与圆的交点上。而这些交点的产生，除了圆规与直尺，其它工具是无法完成的。
通过对四神博局镜背纹中几何纹饰局布的研究后，笔者认为与今天的机械制图没有什么明显的差异。应先作出圆后再分出32等分线，然后用圆规对方框、乳钉等几何纹进行定位划交点。当全部几何纹都布好后可以看到，钮座外的方框、小乳钉、大乳钉、TLV符号等，全部在某一个等距离的交点上或傍边。从图中还可清楚地看到，大乳钉、小乳钉、钮、小乳钉、大乳钉为五个交点在一条线上。如果说东汉的四神博局镜在制模过程中没有采用圆规，那是不可思意的。应当看到，东汉四神博局镜的制图方法，相对战国与西汉时期的制图方法，已有明显的技术进步。
以上所谈铜镜背纹中的几何纹饰，是指西汉至东汉的一些镜种。经对历代铜镜仔细观察后又陆续发现，在战国晚期的一些镜种的外缘上，已经出现了少量的16出内向连弧，但大多为12出连弧。
在战国时代的一些铜镜纹饰中，也有相当一些镜种具有内向连弧纹需用圆规在镜模上进行绘制。当画好圆后，圆规可在圆的周长上轻易地分出6等分，继而再分成12等分是不难办到的。可以认为，8连弧、12连弧及16连弧都是采用了圆规直接作出的。但在战国镜的纹饰中，有一些为7连弧，这说明，战国时代在镜背能作出7连弧的几何纹，可能被看作是一种高超技术的标准。这里不讨论7连弧在战国时代有什么寓意，我们只研究它的造形技术。
如果采用圆规在圆上等分线，3等分、6等分、8等分、12等分、16等分及32等分都是较容易被等分出来的，而7等分却有一定的难度。如果使用圆规采用现代机械制图的方法来绘制7连弧，战国的先民连平面几何的常识都不具备，显然不可能懂得用圆规分出7等分的原理及步骤。最简单易行且行之有效的办法，就是用调节圆规口径大小的方法，直接在圆周线上找出7等分交点后，从钮中心点对着圆周线上的7个交点向外分别引线出来，一次性定位。这样操作的结果，只是在图上不存在理论线，但与现代有理论线的实际效果是一样的。从出土和众多著录的战国有七连弧几何纹的铜镜上，找不到曾画过理论线的痕迹，而在汉代的一些铜镜背纹中，往往能见到由于切线留下的理论线的痕迹。如在本文图1中，草叶纹镜背的方框四角向外幅射的凸线、以及内向连弧纹内的一圈圆凸线，就是明显为镜背纹饰的布局及分区时留下的理论线。因此，从这一现象看，战国时代应是我国先民运用圆规的初级阶段。
在西汉早期接近战国镜纹饰风格的那些镜种中，如叠压缠绕四蟠螭镜、圈带叠压蟠虺镜、四花瓣四猴镜等，这些镜种大都承袭了战国镜的背纹风格，这些铜镜的镜钮都保持着三弦钮，且保持着地纹。但是，在镜背的几何纹饰中，却十分明显地可以看到使用了圆规进行了分区及定位。
在三国至六朝时期神兽镜背纹中的半圆、环状乳及铭文带、隋镜钮座外的方框、V符号及凸棱、唐镜中八出菱花形镜缘及八出葵花形镜缘等，也都十分明显为使用了圆规布局定位或绘制图形。因这些镜种都晚于汉代，就不一一例举了，只是说明圆规及机械制图在制镜方面得到了越来越深入地应用。
过去我们常讲一句话曰：“没有规矩，不成方圆。”矩是测量方形物的工具，规是用以画圆的工具，看来这句古老的俗语的确有其历史根源。相传伏羲发明了“矩”，矩即是今天的角尺，木工有了矩，才能作出各式各样的棹椅板橙。即使在现代的金属制造工业中，也一样离不了角尺的应用。如果关于伏羲发明矩的传说可靠的话，“矩”在中国已应用了近5000年；那么作为一套工具配合使用的“规”，又是什么时代的什么人所发明？
《墨子·法仪第四》中有云：“子墨子曰：天下从事者，不可以无法仪。无法仪而其事能成者，无有也。虽至士之为将相者，皆有法。虽至百工从事者，亦皆有法。百工为方以矩，为圆以规，直以绳，正以县(平以水)，无巧工不巧工，皆以此五者为法。巧者能中之，不巧者虽不能中，放依以从事，犹逾已。故百工从事，皆有法所度。……”。生活在春秋与战国之交的墨子，在这段话中说的十分明确，百工在作方形物时须用矩，作圆须用规，天下作任何事都要有“法”有“度”，而矩及规即是其五者之二。
通过出土文物及历史文献看来，圆规的应用，至少不会晚于战国早期即公元前476年左右。虽然现代的机械制图包括了绘制立体件，是采用了投影原理、透视原理及绘制三视图及剖面图，甚至有时还需要绘制局部剖面图；但是，其最基本的绘图方法，却还是与2200余年前西汉早期铜镜背纹中的这些几何纹饰的绘制方法相同。
通过对以上问题的探讨后笔者认为，最迟在战国早期甚至更早，中国的先民就已经发明并在使用圆规。但此时尚属使用圆规的初级阶段。经过数百年的使用与摸索，在西汉早期，人们已经可以较熟练地进行较简单的机械制图，用以制作铜镜背纹中的一些几何纹饰了。又经数百年至东汉时期，圆规的使用更为普及并更趋成熟。从西汉早期制作连弧纹到草叶纹镜背的分区及方框、乳钉的设置，至东汉四神博局镜中那么多乳钉、方框、钮座、柿蒂座以及TLV符号的分区及准确地定位，说明汉代的先民对圆规及机械制图已明显地应用自如了。战国时代用圆规，只作些简单的连弧纹。西汉时期用圆规，除制作连弧纹外，还制作方框及乳钉。东汉时期用圆规，除制作以上几何纹外，又增加了TLV符号的准确定位。从以上各个历史时期铜镜背纹里几何纹饰的变化中，可以较清晰地看到机械制图技术在一步一个脚印地进步。这也是历史发展过程中的必然。
虽然中国的人类文明进程已数千年，但作为工具常被人们使用的“规”与“矩”，却还基本保持着其本来的原始面貌一直被沿用至今。不论现代工业中的机械制图技术在何年被成为专科，但在2000余年前的汉代，中国的先民们在制作铜镜的背纹时，曾采用了圆规进行不同程度的机械制图操作，却是客观存在的史实。
2000年9月24日于郑州
